Auf das Risiko hin, dass das schon lange abgehandelt worden ist:
so richtig abwickeln laesst sich die von Herrn Schaerer
vorgeschlagene Figur natuerlich nicht. Dies ist nur in der
Diskretisierung moeglich, wie in der Message von R. Maeder
gezeigt. Uebrigens ist diese "Planierungsaufgabe" in C noch ein
Stueck effizienter zu loesen, aber mit dieser Aussage begehe ich
in dieser Liste wohl ein Sakrileg (send mail if you are interest
ed in the program).
Das folgende Mathematica-Programm berechnet eine Graphik der
Gauss-Kruemmung der Oberflaeche. Es ist leicht zu sehen, dass die
Gauss Kruemmung entlang der ganzen Oberflaeche strikt negativ ist
(dass sie <= 0 sein muss ist klar, da die Flaeche in jedem Punkt
eine Gerade enthaelt). Somit ist sie nicht abwickelbar.
Needs["Calculus`VectorAnalysis`"]
a = { \
(R + r Cos[s/w]) Cos[s], \
(R + r Cos[s/w]) Sin[s], \
r Sin[s/w]
} \
+ t ( \
{ \
(R + r Cos[2 Pi/w + s/w]) Cos[s], \
(R + r Cos[2 Pi/w + s/w]) Sin[s], \
r Sin[2 Pi/w + s/w] \
} \
- { \
(R + r Cos[s/w]) Cos[s], \
(R + r Cos[s/w]) Sin[s], \
r Sin[s/w] \
} \
)
normal = CrossProduct[D[a, s], D[a, t]]
l = normal . D[D[a, s], s]
n = normal . D[D[a, t], t]
m = normal . D[D[a, t], s]
b = Simplify[l n - m^2]
g = CrossProduct[D[a, s], D[a, t]]
g = Simplify[g . g]
Plot3D[(b/g)/.{R -> 1, r -> 0.1, w -> 3}, {s, 0, 6 Pi}, {t, 0, 1}]
Mit mathematischen Gruessen
Andreas Mueller
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Dr. Andreas Mueller, Beratung und Entwicklung
Bubental 53, CH - 8852 Altendorf
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