1.	Ziel der Untersuchung

Es soll versucht werden eine Lösung der Differentialgleichung für die Verschiebung für einen kubischen Pfeiler (b=Pfeilerbreite, h=Pfeilerhöhe, l=Pfeilerlänge<l entfällt hier da im hier untersuchten 2. dimensionalen Fall diese Dimension als ∞ angesehen wird.>) als   Hook'schen Körper zu finden. Natürlich kann man heute mit Methoden der diskreten Mathematik wie FE, FD oder FV beliebig genaue numerische Näherungslösungen für beliebige Körper und beliebige Stoffgesetze erhalten.

Andererseits kann man mit diesen Methoden direkt keine analytischen Zusammenhänge erkennen.
Lösungen zu finden dauert relativ lange da man erst komplizierte Netze erzeugen und die Ergebnisse aufwendig numerisch auswerten muß.

Analytische Lösungen der Verscheibung lassen sich durch die bekannten Beziehungen mit partieller Differentiation in Dehnung und über die Stoffgesetze damit in Spannungen überführen.

Es soll im folgenden versucht werden eine analytische Lösung für das 2. dimensionale Problem zu finden.

(Hinweis: Bei Mathematica ist E gelichbedeutend mit der Eulerschen Zahl 2.71828 weswegen hier das E-Modul mit EModul definiert wird.)


Hier zuerst einige Definitionen:
EModul: Elastizitätzmodul für einen idealelastischen, Hook'schen Pfeiler
GModul: Gleitmodul  für einen idealelastischen, Hook'schen Pfeiler mit GModul = (EModul/(2 (1 + ν)))
ν: Querdehnungszahl
ϵ: Dehung bei Druck- / Zugbeanspruchung
γ: Verzerrung bei Schubbeanspruchung

\(\(\(
\)\( (*\(Remove["Global`*"];\)*) \)\(
\)\( (*\(Needs["Utilities`ShowTime`"];\)*) \)\(
\)\( (*\(Needs\)\([\)\(\*"""Calculus`DSolveIntegrals` \*""]"\)*) \)\)\)

Off[General::"spell1"]
Off[General::"spell"]

2.	Definition der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung für die Verschiebungen in X-Richtung -> U und in Y-Richtung -> V (Quelle Dubbel oder Szabo etc.)

Initialiesrung und Definition der bekannten Differentialgleichung für die Verschiebung.

Im folgenden werden Invarianten verwendet, deren Variablen  mit dem großen Buchstaben I und einer Zahl danach beginnen (z.B. I0=1-2ν).

Hinweis: Die übliche Schreibweise für Differentiale wie z.B. ∂(v/∂)x, (∂^2) (v/∂)(x^2) oder (∂^2) (v/(∂x ∂y)) wird in dem Programmpacket Mathematica z.B. als ∂(v/∂)x= Derivative[1, 0][v][x, y]=(∂_x) v[x, y];(∂^2) (v/(∂x ∂y))= Derivative[1, 1][v][x, y]=(∂_(x, y))v[x, y] und (∂^2) (v/(∂^2)) x= Derivative[2, 0][v][x, y]=(∂_(x, x))v[x, y]verarbeitet bzw. dargestellt.

Inv[1] = 2 (1 + ν)
GModul = (EModul/Inv1)

ϵ = (∂_x) u[x, y] + (∂_y) 
            v[x, y];
Inv[0] = 1 - 2  ν;
△[
        k_] := (∂_(x, x))k + (∂_(y, y))k

△[u[x, y]]

(Subscript[Verschiebung, X]) = 
      GModul (△[
                u[x, y]] + (∂_x) (ϵ/Inv0)) == 
        0

(Subscript[Verschiebung, Y]) = 
      GModul (△[
                v[x, y]] + (∂_y) (ϵ/Inv0)) == 
        0

Diese partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnungen lassen sich in dieser Form schwer oder gar nicht lösen, da in jeder Gleichung 2 Unbekannte u und v bzw. deren partiellen Differentiale auftauchen. Die Lösung fällt leichter bzw. wird erst möglich wenn mann in jeder Gleichung nur noch eine Unbekannte hat.

Durch die Elimination der Verscheibung in der jeweils anderen Richtung in der jeweiligen Gleichung durch Elimination von (∂^2) u bzw . (∂^2) v kann dieses erreicht werden. Dieses wird durch die Auflösung jeweils einer Gleichung nach (∂^2) u bzw . (∂^2) v und Einsetzen des Ergebnisses und damit Elimination derselben Unbekannten in der anderen Gleichung erreicht. Nicht eleminiert werden kann allerdings ∂x bzw. dx und ∂y bzw. dy. Dieses taucht aber nur als direkter Quotient ∂(y/∂)xbzw. dem reziproken Quotienten ∂(x/∂)yauf. Beides sind aber unabhängige. Man kann diese Quotienten als Ähnlichkeitskennzahl der Geometrie bzw. Ausdehnung in X- und Y-Richtung auffassen. Für eine rechteckige Scheibe (unendlich langer Kubus mit der Breite b und der Höhe h) nimmt dieser Quotient den festen Wert \(TraditionalForm\`∂y\/∂x = \(h\/b = λ\)\) an.

Dieses wird im folgenden durchgeführt.
Für die x bzw. u Richtung:

1.1. a) Substitution von (∂_(x, x))v[x, y] durch  (d2v/(dx^2))etc. (in Mathematica lautet der Substitutionsbefehl/.(∂_(x, x))v[x, y] -> (d2v/(dx^2))in x-Richtung:

(Subscript[Verschiebung, XSubstituiert]) = (Subscript[Verschiebung, X])  /. (∂_(x, x))v[x, y] -> (d2v/(dx^2)) /. (∂_(y, y))v[x, y] -> 
              (d2v/(dy^2)) /. (∂_(y, x))v[x, y] -> 
            (d2v/(dy dx)) /. (dy/dx) -> λ

1.1. b) Das gleiche in y-Richtung:

(Subscript[Verschiebung, YSubstituiert]) = (Subscript[Verschiebung, Y]) /. (∂_(x, x))v[x, y] -> 
                (d2v/(dx^2)) /. (∂_(y, y))v[x, 
                  y] -> 
              (d2v/(dy^2)) /. (∂_(y, x))v[x, 
                y] -> 
            (d2v/(dy dx)) /. (dy/dx) -> λ

1.2. Jeweils auflösen nach (∂^2) v (hier d2v):

(Subscript[d2v, 1]) = 
      Solve[(Subscript[Verschiebung, YSubstituiert]), d2v] // FullSimplify

(Subscript[d2v, 2]) = 
      Solve[(Subscript[Verschiebung, XSubstituiert]), d2v] // FullSimplify

1.3. Durch Gleichsetzten erhält man die neue Differentialgleichung, welche allerdings noch dx und dy enhält:

(Subscript[d2v, 1])[[1, 1, 2]] == (Subscript[d2v, 2])[[1, 1, 2]] // 
      FullSimplify

1.4. Jetzt kann man noch dx und dy durch die Definition von λ = (h/b) = (dy/dx) ersetzen und substituieren:

Eliminate[{(Subscript[d2v, 1])[[1, 1, 2]] == (Subscript[d2v, 2])[[1, 1, 2]], 
          dy/dx == λ}, {dx, dy}] // FullSimplify

2.1 Dieses wird hier in einem Schritt für die x-Richtung erledigt:

Differetialgleichung§für§u = Eliminate[{(Subscript[Verschiebung, X]), 
              (Subscript[Verschiebung, Y]), (∂_(x, x))v[x, y] == 
                d2v/dx^2, (∂_(y, y))v[x, y] == 
                d2v/dy^2, (∂_(y, x))v[x, y] == d2v/(dy dx), 
              dy/dx == λ}, {(∂_(x, x))v[x, 
                  y], (∂_(y, y))v[x, y], (∂_(y, x))v[x, 
                  y], dx, dy, d2v}][[1]] // FullSimplify

Solve[Solve[Differetialgleichung§für§u,Derivative[1, 1][u][x, y]][[1, 1, 2]]==Derivative[1, 1][u][x, y],Derivative[0, 2][u][x, y]][[1, 1, 2]]==Derivative[0, 2][u][x, y]//FullSimplify

2.2 Das gleiche für die y-Richtung:

Differetialgleichung§für§v = Eliminate[{(Subscript[Verschiebung, X]), 
              (Subscript[Verschiebung, Y]), (∂_(x, x))u[x, y] == 
                d2u/dx^2, (∂_(y, y))u[x, y] == 
                d2u/dy^2, (∂_(y, x))u[x, y] == d2u/(dy dx), 
              dy/dx == λ}, {(∂_(x, x))u[x, 
                  y], (∂_(y, y))u[x, y], (∂_(y, x))u[x, 
                  y], dx, dy, d2u}][[1]] // FullSimplify

Die nun hergeleitete partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung kann direkt mit dem Befehl DSolve durch 2 malige Integration gelöst werden:

Lösung$u$C = DSolve[
            Differetialgleichung§für§u, 
            u[x, y], {x, y}][[1, 1, 2]] // FullSimplify

Lösung$u = 
      Lösung$u$C /. C -> Cu

Lösung$v$C = DSolve[
            Differetialgleichung§für§v, 
            v[x, y], {x, y}][[1, 1, 2]] // FullSimplify

Lösung$v = 
      Lösung$v$C /. C -> Cv

Lösung$v$x$y[x_, y_] = 
      Lösung$v // FullSimplify

Lösung$u$x$y[x_, y_] = 
      Lösung$u // FullSimplify

Man erhält 2 Lösungsgleichungen, welche jeweils zwei Integrationsfunktionen C[1] und C[2] erhält. Diese Funktionen können aber nicht wie üblich als abhängig von jeweils einer einfachen unabhängigen Variablen angegeben werden (z.B. C[1][x] ) sondern werden vorerst nur Funktion einer unabhängigen Gleichung) angegeben, welche im folgenden einfach extrahiert wird:

Definition von Funktionen für die Dehnung ϵ und die Schubverzerrung γ

Da nun die Gleichungen für die Verschiebung u und v in x bzw. y Richtung bekannt sind, sind über die bekannten Bedingungen die Dehungen \(TraditionalForm\`ϵ\_x = \(δu\/δx = \(θ\_x\) u[x]\)\)und \(TraditionalForm\`ϵ\_y = \(δv\/δy = \(θ\_y\) y[x, y]\)\) und Schubverzerrungen \(TraditionalForm\`γ = \(δu\/δy + δv\/δx = \(θ\_x\) v[x, y] + \(θ\_y\) u[x, y]\)\) (Verträglichkeitsbedingungen) zu definieren.

ϵ$y[x_, y_] = (∂_y) Lösung$v$x$y[x, y] // 
        FullSimplify

ϵ$x[x_, y_] = (∂_x) Lösung$u$x$y[x, y] // 
        FullSimplify

γuy[x_, y_] = (∂_y) Lösung$u$x$y[x, y] // 
        FullSimplify

γvx[x_, y_] = (∂_x) Lösung$v$x$y[x, y] // 
        FullSimplify

γ[x_, y_] = γvx[x, y] + γuy[x, y] // 
        FullSimplify

Randbedingungen zur Lösung der DGL

Die bekannten Randbedingungen im Pfeiler lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Gleichungen$Hold = {EModul ϵ$y[x, 
                  0]  ==  (Subscript[σ, Teufe]), ϵ$x[b/2, 
                0] == 0, γuy[x, 0] == 
              0, γuy[b/2, 0] == 0, γvx[0, y] == 
              0, γuy[0, y] == 0, γvx[x, 0] == 0} // 
          MatrixForm // Hold

Gleichungen = Gleichungen$Hold // ReleaseHold // FullSimplify // 
        MatrixForm

Aus den obigen Randbedingungen werden diejenigen herausgesucht, bei denen das Argument von Cu bzw. Cv gleich ist.

IIU[
          1] = ((b (λ - (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])))/(4 (1 + Inv0) (1 + Inv0 + Inv0 (λ^2))));
IIU[
          2] = ((b (λ + (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])))/(4 (1 + Inv0) (1 + Inv0 + Inv0 (λ^2))));

Gleichung$CU = {ϵ$x[b/2, 0] == 0, γuy[(b/2), 0] == 
              0} /. IIU[1] -> IIU1 /. IIU[2] -> IIU2

Solve[Gleichung$CU,{(Cu[1])'[IIU1],(Cu[2])'[IIU2]}]

DSolve[(Cu[1])'[IIU1]==0,Cu[1][IIU1],IIU1,DSolveConstants -> KCu1]

Loesung$Cu1IIU1=Cu[1][IIU1]/.DSolve[(Cu[1])'[IIU1]==0,Cu[1][IIU1],IIU1,DSolveConstants -> KCu1][[1, 1]]

Loesung$Cu2IIU2=Cu[2][IIU2]/.DSolve[(Cu[2])'[IIU2]==0,Cu[2][IIU2],IIU2,DSolveConstants -> KCu2][[1]]

Gleichung$CU/.(Cu[1])'[IIU1]->(∂_IIU1) Loesung$Cu1IIU1/.(Cu[2])'[IIU2]->(∂_IIU1) Loesung$Cu2IIU2

Daraus ergeben sich damit relativ einfache Beziehungen  Cu[2][IIU2]=KCu2[1] bzw. Cu[1][IIU1]->KCu1[1].

Solve[{EModul ϵ$y[x, 
                    0]  ==  (Subscript[σ, Teufe]), γvx[x, 
                  0] == 
                0} /. ((x (λ - (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])))/(2 (1 + Inv0) (1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))) -> 
              IIV1 /. ((x (λ + (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])))/(2 (1 + Inv0) (1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))) -> IIV2,{(Cv[1])'[IIV1],(Cv[2])'[IIV2]}]

DSolve[(Cv[1])'[IIV1]==((Subscript[σ, Teufe])/EModul) + (((λ - (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])) (Subscript[σ, Teufe]))/(2 EModul (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)]))),Cv[1][IIV1],IIV1,DSolveConstants -> KCv1]//FullSimplify

Cv[1][IIV1] = 
      KCv1[1] + ((IIV1 (1 + (λ/(Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)]))) (Subscript[σ, Teufe]))/(2 EModul))

DSolve[(Cv[2])'[IIV2]==-(((λ - (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)])) (Subscript[σ, Teufe]))/(2 EModul (Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)]))),Cv[2][IIV2],IIV2,DSolveConstants -> KCv2]//FullSimplify

Cv[2][IIV2] = 
      KCv2[1] + ((IIV2 (1 - (λ/(Sqrt[(λ^2) - 4 Inv0 (1 + Inv0) (((1 + Inv0 + Inv0 (λ^2)))^2)]))) (Subscript[σ, Teufe]))/(2 EModul))