Re: FW: Antwort: RE: Bug oder nicht?

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Hans && Robert,

Verfügt man, dass x reell ist, geht es auch mit Mma 4.2:

In[1]:= Clear[a]
a = 1.2 + 2.5*I

In[14]:= Clear[f]
f := (x + I)^2/(x + I - a)

In[16]:= Integrate[f, {x, 1, 3}, Assumptions -> {x \[Element] Reals}]
Out[16]= -1.754532830651674 + 4.771717220141561*I

In[17]:= Integrate[f, {x, 3, 1}, Assumptions -> {x \[Element] Reals}]
Out[17]= 1.754532830651674 - 4.771717220141561*I

In[19]:= $Version
Out[19]= 4.2 for Microsoft Windows (June 5, 2002)

Die Weite der komplexen Ebene verwirrt Mma 4.2 auf dem Rückweg von 3 
nach 1. In der komplexen Ebene gibt es  mehr als einen Pfad von 3 nach 
1. Es wäre dann ein Bug, wenn f  für komplexes x im Integrationsgebiet 
eine analytische Funktion wäre, denn dann ist das Integral 
wegunabhängig. Lässt man x komplex sein:

In[69]:= Clear[fc]
fc[xr_, xi_] := (xr + I*xi + I)^2/(xr + I*xi + I - (6/5 + (5*I)/2))

und schaut sich spasseshalber die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen an:

In[77]:= Simplify[D[ComplexExpand[Re[fc[x, y]], TargetFunctions -> {Re, 
Im}], x] -
  D[ComplexExpand[Im[fc[x, y]], TargetFunctions -> {Re, Im}], y]]
Out[77]= 0

In[78]:= Simplify[D[ComplexExpand[Re[fc[x, y]], TargetFunctions -> {Re, 
Im}], y] +
  D[ComplexExpand[Im[fc[x, y]], TargetFunctions -> {Re, Im}], x]]
Out[78]= 0

so folgt, dass die Funktion analytisch ist (man sieht das direkt daran, 
dass f (oder fc) nicht von Conjugate[x] (oder von xr  - I xi) abhängt). 
Das Integral muss wegunabhängig sein, es hängt nur vom Anfangs- und 
Endpunkt ab. Also ein Bug.
Zu beachten ist noch die Polstelle von f bei x = a - I, die 
Wegunabhängigkeit gilt nach Cauchy nur in beschränkten, einfach 
zusammenhängenden Gebieten, die die Polstelle nicht enthalten. Deshalb 
ist auch folgendes ein Bug von Mma 4.2:

In[83]:=
Table[Integrate[f, {x, 3, 2 + y*I, 1}], {y, -3, 1}]

Out[83]=
{-17.095023090887075 - 19.882777883908467*I,
 -17.09502309088708 - 19.882777883908467*I,
 -17.095023090887082 - 19.882777883908467*I,
 -35.944579012425834 - 34.99383854767537*I,
 -17.09502309088708 - 19.882777883908464*I}

Mit den besten Grüssen
Udo.

Nowak Robert wrote:

> hallo hans,
> noch mal das ganze falls da etwas nicht richtig angekommen ist.
> wo genau der bug liegt weiss ich nicht, aber wenn man MMA 4.2 das ganze symbolisch und mit rationalen zahlen und symbolischen grenzen 
> rechnen lässt und erst am schluss mit N[] in eine "real" zahl wandelt scheint auch bei vertauschen der grenzen der 
> korrekte wert berechnet zu werden.
>
>
> MMA 4.2
>
> In[61]:=
> a = 6/5 + (5/2)*I
> f = (x + I)^2/(x + I - a)
> N[Integrate[f, {x, x1, x2}] /. {x1 -> 1, x2 -> 3}]
> N[Integrate[f, {x, x1, x2}] /. {x1 -> 3, x2 -> 1}]
>
> Out[61]=
> 6/5 + (5*I)/2
>
> Out[62]=
> (I + x)^2/(-(6/5) - (3*I)/2 + x)
>
> Out[63]=
> -1.7545328306516785 + 4.771717220141556*I
>
> Out[64]=
> 1.7545328306516785 - 4.771717220141556*I
>
>
> grüsse robert
>
> -----Original Message-----
> From: Hans.Dolhaine@XXXXXXX.com [mailto:Hans.Dolhaine@XXXXXXX.com] 
> Sent: Wednesday, September 29, 2004 10:04 AM
> To: Nowak Robert
> Subject: Antwort: RE: Bug oder nicht?
>
>
> Guten Morgen Robert,
>
> ich habe Mma 4.2.  Was jetzt?
>
> Gruss,   Hans