Re: Re(Woysch): Frage zur Aequivalenz von modifizierten DiracDelta-Funktionen

["Jens-Peer Kuska" <kuska@XXXXXXX.de>]

Hallo,

das ist ja HAARSTRÄUBEND !

DiracDelta[] ist eine *Distribution*, das heißt sie ist nur in Ausdrücken

Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}]

erlaubt und sinnvoll. Und auch nicht für beliebige Funktionen f[]
sondern nur für eine bestimmte Klasse z.B den Raum der (quadratisch)
integrablen Funktionen.
Eine nackte DiracDelta[] Funktion kann es nicht
geben. Es gibt immer nur Integrale in denen eine solche Funktion steht.
Um genau zu sein, ist DiracDelta[] diejenige Distribution, die

Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}] -> f[0]

zuordnet. Es ist also höchst sinnlos darüber zu spekulieren
ob DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s]
ist oder nicht, denn es ist nur ein Ausdruck

Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}]==
  Integrate[f[x]*DiracDelta[ 5 x],{x,-Infinity,Infinity}]

überhaupt definiert, und der ist natürlich

f[0]==f[0]/s

ob das True oder False ist kann man so nicht sagen, TrueQ[] sollte
aber auf jeden Fall False ergeben ...
Natürlich ist es schlimm, wenn so etwas überhaupt ausgewertet wird,
denn der Ausdruck  DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s] ist sinnlos, und
das FullSimplify[] das auch noch zu  True vereinfacht ist bedauerlich,
weil eigentlich Indeterminate heraus kommen sollte.
Aber vermutlich ist es kein Bug, wenn bei der Eingabe von Unsinn auch Unsinn
rauskommt ...

Es ist eine beliebte Ungenauigkeit einfach das Integral und die Funktion
f[] wegzulassen und die Daumen zu drücken, das alle Integrale
konvergieren, das hat aber nix mit Mathematik zu tun,
sonder mit (Schreib-)Faulheit, genauso,
wie man in Differentialgleichungen gern die
Funktionsargumente weg läßt.

Aus einer gewissen Laxheit/Faulheit heraus aber zu schlußfolgern, das

DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s]

überhaupt etwas sinnvolles ergibt ist recht vermessen. Selbst
mit der üblichen "auch ganz doofe Studenten sollen das verstehen"-Erklärung:
"Eine Diracsche Delta-Funktion ist überall null außer dort wo das Argument
verschwindet, dort ist sie unendlich."
ist klar das man "Unendlich" und "Unendlich/5" wohl eher nicht
vergleichen kann.

Jedenfalls hat es die Anzahl der Postings in der DMUG dramatisch erhöht


Gruß
 Jens




----- Original Message ----- 
From: "Thomas Hahn" <hahn@XXXXXXX.de>
To: "Andre El-Ama" <Andre@XXXXXXX.de>
Cc: "DMUG" <demug@XXXXXXX.ch>
Sent: Monday, February 14, 2005 3:45 PM
Subject: Re: Re(Woysch): Frage zur Aequivalenz von modifizierten 
DiracDelta-Funktionen


> > >Na und, wo ist da ein Problem?
> > > x^2 == x^2 ist schon ja von sich aus True.
> >
> > Genau, "von sich aus True" entspricht in diesem Fall "x element R"
>
> Vielleicht steh ich gerade auf der Leitung, aber x^2 == x^2
> ist auch im Komplexen True.
>
> > >Mathematica Basics:
> > >Alle ...Q-Funktionen liefern False, wenn das Ergebnis nicht
> > >bestimmt werden kann.
> >
> > schon mal falsch, denn es gilt nicht für Funktionen die "von sich aus 
> > True"
> > sind.
>
> Natürlich ist TrueQ[True] True, d.h. daß TrueQ[x^2 == x^2]
> True ergibt, bestätigt in diesem Fall doch nur, daß x^2 == x^2
> schon True ist.
>
> Das Ausgangsproblem war doch, daß
>
> TrueQ[ DiracDelta[s] == DiracDelta[s]/5 ]
>
> False ergibt, und da behaupte ich: das ist völlig korrekt, denn
> DiracDelta[s] == DiracDelta[s]/5 kann ohne zusätzliche Informationen
> eben nicht eindeutig als True oder False ausgewertet werden, und
> dann gibt TrueQ seinen Default, nämlich False zurück.  Es ist
> ein Feature und kein Bug der ...Q-Funktionen, daß sie im
> Zweifelsfalle False zurückliefern.
>
> > >Im Übrigen habe ich mir das mit den ...Q-Funktionen nicht
> > >selbst ausgedacht, sondern das steht im Mma-Buch (müßte suchen,
> > >wo genau).
> > Ja, dauert "echt" lange im MMA-Buch unter "TrueQ" nachzusehen!
>
> Weil es nicht bei TrueQ steht, sondern in Section 2.3.5:
>
> An important feature of all the Mathematica property-testing
> functions whose names end in Q is that they always return False if they
> cannot determine whether the expression you give has a particular
> property.
>
>
> Schöne Grüße,
>
> Thomas