Re: PDE's und Randbedingungen

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Hans,

Ihr PDE-System

NDSolve[{D[g[x, t], t] == D[(d1 + d2 g[x, t]) D[g[x, t], x], x],
   D[h[x, t], t] == D[(d1 + d2 h[x, t]) D[h[x, t], x], x],
   g[x, 0] == c0,
   h[x, 0] == 0,
   Derivative[1, 0][g][0, t] == 0,
   Derivative[1, 0][h][0, t] == 0,
   (d1 + d2 g[1, t]) Derivative[1, 0][g][1, t] == -(d1 + d2 h[1, 
t])Derivative[1, 0][h][1, t],
    h[1, t] == g[1, t](1 - Exp[-30 t])},
   {g, h},
   {x, 0, 1}, {t, 0, t1}
]

kommt durch die Randbedingung
(d1 + d2 g[1, t]) Derivative[1, 0][g][1, t] == -(d1 + d2 h[1, 
t])Derivative[1, 0][h][1, t]

in einen schlechten Zustand oder gewissenmassen in Unordnung: Sei
G[x, t] := (d1 + d2 g[x, t]) Derivative[1, 0][g][x, t] und
H[x, t] := (d1 + d2 h[x, t]) Derivative[1, 0][h][x, t]

dann lautet die Rdbdg G[1, t] == -H[1, t]. Die Gleichungen sind in 
denselben Bezeichnungen
D[g[x, t], t] == D[G[x, t], x] und D[h[x, t], t] ==  D[H[x, t], x], 
somit bei x = 1
D[h[1, t], t] ==  D[H[1, t], x] == D[-G[1, t], x] ==  -D[g[1, t], t]

oder mit anderen Worten, die Randbedingung kann auch folgendermassen 
geschrieben werden
Derivative[0, 1][h][1, t] == -Derivative[0, 1][g][1, t]

und konkurrenziert vom Grad der Zeitableitung her die Gleichungen - das 
hat Mma bei Ihrer Eingabeform übersehen.

Wenn man es trotzdem eintippt
NDSolve[{D[g[x, t], t] == D[(d1 + d2 g[x, t]) D[g[x, t], x], x],
   D[h[x, t], t] == D[(d1 + d2 h[x, t]) D[h[x, t], x], x],
   g[x, 0] == c0,
   h[x, 0] == 0,
   Derivative[1, 0][g][0, t] == 0,
   Derivative[1, 0][h][0, t] == 0,
   (*
     (d1 + d2 g[1, t]) Derivative[1, 0][g][1, t] == -(d1 + d2 h[1, t]) 
Derivative[1, 0][h][1, t],
     *)
   Derivative[0, 1][h][1, t] == -Derivative[0, 1][g][1, t]
    h[1, t] == g[1, t] (1 - Exp[-30 t])},
 {g, h},
 {x, 0, 1}, {t, 0, t1}]

gibt Mma 5.1 Bescheid mittels:

NDSolve::bdord: Boundary condition -(1 - E^(-30 t)) g[1, t] + h^(0, 
1)[1, t] should have derivatives of order lower than the differential 
order of the partial differential equation.

Richtig. Also dies wird nichts Sinnvolles mehr erbringen, solche 
Randbedingungen sollten auch vom Modell her nicht stimmen.

Gruss
Udo.

Hans.Dolhaine@XXXXXXX.com wrote:

> Liebe Liste,
>
> ich will numerisch ein System von partiellen Differentialgleichungen
> integrieren. Dabei soll einer der Koeffizienten eine Funktion der Lösung
> sein - es ist also etwas komplizierter. Insbesondere hängt damit auch eine
> der Randbedingungen (die an der Stelle x = 1 ) von der Lösung ab. NDSolve
> funktioniert klaglos, wenn der Koeffizient konstant ist. Baue ich die
> Abhängigkeit von der Lösung ein gibt's eine Fehlermeldung "Division durch
> null". Ich kenne mich zu wenig in Mathematica und der Theorie der
> partiellen Differentialgleichungen aus, um den Grund für diesen Fehler zu
> erkennen. Versteht das jemand? Und wie kann ich mein System trotzdem lösen?
>
> Hans Dolhaine
>
> (See attached file: dmug.nb)
> _________________________________
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