Hallo Frank,
in der Dissertation von Stefan Hiebler, Kalorimetrische Methoden zur
Bestimmung der Enthalpie von Latentwärmespeichermaterialien während des
Phasenübergangs, TU München 2007, wird mit temperaturabhängiger
spezifischer Wärmekapazität modelliert und simuliert:
D[T[t, x], t] == \[Lambda]/(\[Rho] Subscript[c, p]) D[T[t, x], {x, 2}]
a = \[Lambda]/(\[Rho] Subscript[c, p]) - Temperaturleitfähigkeit,
[a] = m^2/s,
\[Lambda] - Wärmeleitfähigkeit, [\[Lambda]] = W/(m K),
\[Rho] - Dichte, [\[Rho]] = kg/m^3,
Subscript[c, p ]- spezifische Wärmekapazität, [Subscript[c, p]] = J/(kg K)
Er bringt auch einen Rechentrick (S. 145 - 147), falls man selbst
diskretisiert.
Mit solch einem Modell, das im Gegensatz zu Ihrem Modell keinen separaten
additiven Term mit der gesuchten Funktion u[t, x, y] enthält, ob nun
abgeleitet oder nicht, hat Mma anscheinend keine Schwierigkeiten. Ich habe
die Lösungen nicht geprüft, das lohnt sich erst mit realistischen Daten,
aber immerhin:
In[12]:= Remove[r]
r[t_] := 45*(Exp[-t] - 1)
In[29]:= Remove[s1] (* Wärmeleitungsgleichung temperaturabhängiger \
spezifischer Wärmekapazität *)
s1 = NDSolve[{D[u[t, x], t] ==
D[u[t, x], x, x]/(0.1 + PDF[GumbelDistribution[-3/2, 1/2], u[t, x]]) ,
u[0, x] == 0, u[t, 0] == r[t], u[t, 8] == r[t]},
u, {t, 0, 50}, {x, 0, 8}, MaxStepFraction -> 1/100]
Out[30]= {{u -> InterpolatingFunction[{{0., 50.}], {0., 8.}}], <>]}}
In[36]:= Remove[s2]
s2 = NDSolve[{D[u[t, x, y],
t] == (D[u[t, x, y], x, x] + D[u[t, x, y], y, y])/(0.1 +
PDF[GumbelDistribution[-3/2, 1/2], u[t, x, y]]) ,
u[0, x, y] == 0, u[t, x, 0] == r[t], u[t, x, 8] == r[t],
u[t, 0, y] == r[t], u[t, 8, y] == r[t]},
u, {t, 0, 50}, {x, 0, 8}, {y, 0, 8}, PrecisionGoal -> 4]
Out[37]= {{u -> InterpolatingFunction[{{0., 50.}], {0., 8.}, {0., 8.}}],
<>]}}
Schönen 4. Advent!
Udo.
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