LosG=80;                  (*Losgröße*)
M=16;                       (*Reklamationsgrenze*)
p=0.08;                (*Wahrscheinlichkeit*)
n=13;                    (*Stichprobengröße*)
c=1;                     (*Annahmezahl*)
AnzSim=10;

(**********************************************)

Kombinatorisches Modell

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Gegeben sei ein Los der Größe LG, das exakt nL Nullen enthält. (Davon gibt es, was hier aber nicht wichtig ist, ( LG über nL )  = Binomial [ LG, nL ] Stück). Später kann man ggf.  die Rechnungen für verschiedene nL wiederholt machen und aus den Resultaten Mittelwerte bilden.

Wir ziehen eine Stichprobe mit s Elementen. (Davon gibt es Binomial [ LG, s ] ).

Wieviel Stichproben mit genau k Nullen gibt es?

Die k Nullen wählen wir aus den nL Nullen des Loses, das geht auf Binomial [ nL, k ] Weisen. Die restlichen s - k Einsen können wir auf Binomial [ LG - nL, s - k ] Weisen wählen. Die gesuchte Anzahl st [ k ] ist also

st [ k ]  = Binomial [ nL, k ] Binomial [ LG - nL, s - k ]

(Anzahl der möglichen Stichproben mit genau k Nullen)

Angenommen wird ein Los, wenn die Stichprobe weniger als nt Nullen enthält, also wenn die Stichprobe 0, 1, 2, ..., nt  Nullen enthält (Ist das richtig?)

Wieviele dieser Stichproben gibt es?

Offenbar   Z  = (∑_(  k=0)^(  nt)) st [ k ]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Los angenommen wird, ist dann Z / Binomial [ Lg, s ]

Wir haben also

Z [LG_,nL_,s_,nt_]:=  (∑_(k=0)^nt)  Binomial [ nL,k ] Binomial [ LG - nL, s - k ]

Dieser Ausdruck ist allgemein ziemlich kompliziert

t0=Z[LG,nL,s,nt]

und lässt sich allenfalls geringfügig vereinfachen ( Gamma[ x ] = ( x  - 1 )! )

t1=Z[LG,nL,s,nt]/.Gamma[x_]->(x-1)!

Hier können die Fakultäten noch durch Binomialkoeffizienten ausgedrückt werden, aber die PQF - Funktion wird man nicht los.

t2=Z[LG,nL,s,nt]/.Gamma[x_]->(x-1)!/.LG!->s! (LG-s)! Binomial[LG,s]/.(LG-nL)!->s! (LG-nL-s)!Binomial[LG-nL,s]

Etwas lesbarer

t2//TraditionalForm

Die Ersetzungen waren richtig, t1 ist gleich t2 :

t1-t2/.Binomial[a_,b_]->((a!)/(b!(a-b)!))

Ein Beispiel

Wir wählen ein Los der Größe 15 mit  4 Nullen (wo die Nullen stehen ist egal, man kann durch Umnumerierung der Los-Elemente immer die gewählte Form erreichen)

L=Join[Table[0,{4}],Table[1,{11}]]
Length[L]

Die Anzahl der Stichproben der Größe 7, die genau 3 Nullen enthalten ist

Binomial[4,3]Binomial[15-4,7-3]

Das überprüfen wir durch Zählen : 

Subsets [ L, {7} ] gibt alle Teilmengen von L  mit ( genau ) 7 Elementen, Select wählt aus diesen Teilmengen genau die aus, die 4 Einsen, also 3 Nullen enthalten

Select[Subsets[L,{7}],Total[#]==7 - 3&];
%//Length

und das gibt die gleiche Anzahl wie oben berechnet. 

Jetzt ermitteln wir die Anzahlen für 0, ... , 3 Nullen in der Stichprobe und zählen zusammen

Binomial[4,#]Binomial[15-4,7-#]&/@{0,1,2,3}
%//Total

Mit der Formel oben für diese Anzahl ergibt sich das gleiche Resultat

Z[15,4,7,3]

und damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe höchstens nt = 3 Nullen enthält und das Los angenommen wird gleich Anzahl der Stichproben mit höchstens 3 Nullen  /  Anzahl der Stichproben gesamt

((Z[15,4,7,3])/(Binomial[15,7]))
%//N