Hier ist die gegebene Funktion

ff=1.2+3.5 Cos[2.6 t +.8];
Plot[ff,{t,0,10}]

Ich wähle eine Beobachtungszeit von 80 Einheiten. Das, denke ich (weiß es aber nicht. Irgendwann habe ich mal was von einem Nyquist-Theorem gehört, habe das aber (noch) nicht nachgelesen), sollte genügen und erhalte meine "experimentellen" Daten.
 
 Um die zu analysieren wende ich "Fourier" an. (Genau das mache ich mit meinen tatsächlichen Daten auch)

obstime=80;
data=Table[ff,{t,0,obstime,.1}];
FT=Fourier[data];
LT=Length[FT]

Gemäß Bemerkungen und Hinweisen aus dem web extrahiere ich den "zero-frequency-term", was in der Tat eine gute Approximation der 1.2 gibt:

a0=FT[[1]]/(Sqrt[LT])//Chop

Um einen Eindruck über die involvierten Frequenzen zu bekommen plotte ich ein "Spektrum". Hier gibt es nur einen peak (bei meinen Daten sind es mehrere)

spec=ListLinePlot[Abs[Take[FT,{2,Floor[LT/2]}]],PlotRange->All]

Ich ändere den Maßstab um den peak besser bestimmen zu können (auf einer Wolfram-Seite habe ich einen "peakfinder" gefunden, benütze den aber hier nicht)

spec1=ListLinePlot[Abs[Take[FT,{2,60}]],PlotRange->All]

und hier habe ich den peak. 0.5 wird zum Runden addiert, 1 wird addiert weil ich den zero-frequency- (den ersten) term aus der ursprünlichen FT-Liste entfernt habe.

peak=IntegerPart[#[[1]]+1.5]&/@{{33.08,47}}

und tatsächlich wird die Frequenz 2.6 ganz gut wiedergefunden:

freq=N[((2π(#-1))/obstime)]&/@peak

Die Amplitude der zugehörigen Schwingung wird im web angegeben mit

amp=((2 Abs[FT[[#]]])/(Sqrt[LT]))&/@peak

das ist aber nicht wirklich die 3.5 der ursprünglichen Funktion. Wie kann man das verbessern?

Und jetzt wird gesagt (bezüglich "Fourier" von Mathematica) man solle die "Phase" so ermitteln:

phase=Arg[FT[[#]]]&/@peak

Aber wenn ich jetzt mit diesen Informationen eine - sagen wir - inverse Fourier Funktion konstruiere ist das nicht "the real thing"

f1=a0+ amp[[1]]Cos[freq[[1]] t + phase[[1]]]
Plot[{ff,f1},{t,0,10},PlotStyle->{Blue,Red}]

Selbst wennich die Phase um π verschiebe (und ich habe keine Idee, warum ich das tun sollte) werden die Dinge nur ein wenig besser..

f2=a0+ amp[[1]]Cos[freq[[1]] t + phase[[1]]+ π]
Plot[{ff,f2},{t,0,10},PlotStyle->{Blue,Red}]

Natürlich kann man jetzt mit NonLinearFit passende Amplituden und Phasen finden, und das klappt auch, aber ich dachte "Fourier" enthielte genügend Informationen um eine zufriedenstellende Approximation der "experimentellen" Daten zu erhalten.  

Was geht schief?

f3=NonlinearModelFit[Table[{t,ff},{t,0,obstime,.1}],a0+a1 Cos[ω t+φ],{{φ,π+phase[[1]]},{a1,amp[[1]]},{ω,freq[[1]]}},t]//Normal
Plot[{ff,f3},{t,0,10},PlotStyle->{Blue,Red}]

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