Re: Positive und reelle Eigenwerte...

[Winfried Bilgic <4Winne@XXXXXXX.de>]

Hallo Harald,

Die Werte innerhalb der Matrix sind natürlich alle reell, die 
Architektur ist hermitisch... die "Pure Functions" entwickelten sich zu 
einem Graus, hab mich von Mma's "Eigenvalues" Version verabschiedet, so 
daß ich mir nun eine Methode geschrieben habe, um sämtliche 
auftauchenden Ungleichungen der Unterdeterminanten so umzuformen, daß 
alle Determinaten positiv werden... der Tipp mit dem Hurwitzkriterium 
war sehr hilfreich, obwohl die ein oder andere Literatur behauptet, es 
sei der Satz von Sylvester, naja... brauch ich ja erst bei der 
Literaturangabe ;)

Herzlichen Dank auch an Stefan Braun.

Mit freundlichen Grüßen

Winfried Bilgic


On 30.11.2003, at 01:26, Harald von Aschen wrote:

> At 18:46 29.11.03 +0100, you wrote:
>
> Hallo!
>
> > Matrix2D = {{A, 0, f[t]*p1, -f[t]*p1, f[t]*p3, -f[t]*p3, 0, 0}, {0, 
> > A, f[t]*p2, -f[t]*p2, 0, 0, f[t]*p3, -f[t]*p3},
> >     {f[t]*p1, f[t]*p2, (1/3)*B, 0, 0, 0, 0, 0}, {-f[t]*p1, -f[t]*p2, 
> > 0, (1/3)*B, 0, 0, 0, 0},
> >     {f[t]*p3, 0, 0, 0, (1/4)*B, 0, 0, 0}, {-f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, 
> > (1/4)*B, 0, 0},
> >     {0, f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, (1/3)*B, 0}, {0, -f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, 
> > 0, (1/3)*B}};
> > Eigenvalues[Matrix2D]
> >
> > allerdings entwickelt sich der Output als außerordentlich seltsam, 
> > siehe (Ausschnitt)
> >
> > {B/4, B/3, B/3, Root[36*#1^5 - 72*A*#1^4 - 33*B*#1^4 + 36*A^2*#1^3 + 
> > 10*B^2*#1^3 - 72*p1^2*#1^3 -
> >      72*p2^2*#1^3 - 108*p3^2*#1^3 + 66*A*B*#1^3 - 36*p3*Subscript[p, 
> > 3]*#1^3 - B^3*#1^2 -
> >      20*A*B^2*#1^2 + 72*A*p1^2*#1^2 + 42*B*p1^2*#1^2 + 72*A*p2^2*#1^2 
> > + 42*B*p2^2*#1^2 +
> >      108*A*p3^2*#1^2 + 66*B*p3^2*#1^2 - 33*A^2*B*#1^2 + 
> > 36*A*p3*Subscript[p, 3]*#1^2 + usw
> >
> > Das #1 kann ich nicht zuordnen, untersuche ich andere Systeme erhalte 
> > ich nicht zwingend eine Raute ?! Erste Frage hier, was mache ich 
> > falsch ? Die zweite Frage ist etwas schwieriger (zumindest für mich), 
> > vor den Koeffizienten p steht eine Funktion f(t) die ich gerne so 
> > wählen möchte (bzw. berechnen lassen möchte), daß "alle" Eigenwerte 
> > reell und positiv werden (wenn das überhaupt geht ?!). A,B und 
> > sämtliche P Werte sind keine Funktionen von t (Zeit).
>
> Also, das sind die sogenannten Pure Functions. Du kannst z. B.
> f[x_] = x^2
> definieren und rechnest dann
> f[3]
> aus. Aber wenn Du f nicht festlegen moechtest, kannst Du auch sagen
> (#^2)& [3]
>
> #1 steht fuer den ersten Funktionsparameter, #2 fuer den zweiten etc.
>
> Auch sehr schoen erklaert im Handbuch unter "Pure Functions". Warum Du 
> "#" im Ergebnis erhaelst, ist, weil Mma so die Wurzeln (= Nullstellen) 
> von Funktionen angeben kann; und das steht im Handbuch unter "Root" 
> phantastisch erklaert.
>
> Dann zur Matrix: Wenn das eine reelle Matrix sein soll, was ich nicht 
> weiss, da Du nichts zu den verwendeten Parametern gesagt hast, ist sie 
> ja symmetrisch, d.h. sie hat eh nur reelle Eigenwerte. Ist sie dann 
> noch positiv definit, sind die Eigenwerte positiv. Das 
> Hurwitz-Kriterium fuer reelle symmetrische Matrizen sagt Dir jetzt, 
> dass die Hauptminoren dann positiv sein muessen. (Das sind die 
> Determinanten der linken oberen Untermatritzen der Matrix G=(g_{j,k}), 
> gegeben durch G_v = (g_{j,k}) mit 1 <= j,k <= v.)
>
> Gruesse Harald v. Aschen