Hallo,
wir wissen schon was Mathematica intern auswertet, es wertet
den Ausdruck nämlich solange aus, bis es keine Regeln mehr findet
die es anwenden kann (infinite evaluation loop).
Da x/y==x/y nun mal der gleiche Ausdruck ist, sind es die Regeln
von Equal[], die sich zu True vereinfachen. Das muß auch so sein,
sonst wird aus x/y+x/y nie 2 x/y. Die Vereinfachungsorgie hört
nur auf, wenn Mathematica den Ausdruck auf jeder Seite in die
"kanonische Form" (OrderedQ[]) gebracht hat. Dabei werden aber
nur die build-in Regeln verwendet. Deshalb ist
1/(x*(1 + y/x)) == 1/(x + y) //TrueQ
auch False, während
1/(x*(1 + y/x)) == 1/(x + y) // ExpandAll // TrueQ
True ergibt, denn es wäre sehr ärgerlich wenn Mathematica ständig ExpandAl[]
oder FullSimplify[] aufrufen würde. Dadurch würde alles ganz ganz langsam
werden und wegen des zusätzlichen Speicherbedarfs von
Simplify/FullSimplify[] könnte man nicht mehr damit arbeiten.
Die standard build-in Regeln ordnen den Ausdruck nur um, letztlich
um zu erkennen, ob jemand 2*a*5*Sin[2Pi x]*4 eingegeben hat, damit
daraus 40*a*Sin[2Pi*x] werden kann und aus 2 x+ x + y + c +x eben
c+ y + 4 x. Nach derm ersten Ordnen werden die Regeln benutzt
die Zahlen zusammen fassen, c_+c_ :> 2 c und c_*c_:> c^2 ...,
dann wird wieder geordnet, zusammengefaßt,... bis sich nichts mehr
ändert. Alles was darüber hinaus geht, wird nicht erkannt. Fügt man
die Regel zum Ausmultiplizieren zu den internen Regeln hinzu, z.B. mit
Block[{Times},
a_*b_Plus := a*# & /@ b;
1/(x*(1 + y/x)) == 1/(x + y)
]
kommt auch wieder True heraus und TrueQ[] ist auch True.
Gruß
Jens
----- Original Message -----
From: "Andre El-Ama" <Andre@XXXXXXX.de>
To: "DMUG" <demug@XXXXXXX.ch>
Sent: Tuesday, February 15, 2005 1:55 PM
Subject: RE: Re(Woysch): Frage zur Aequivalenz von modifizierten
DiracDelta-Funktionen
Hallo Jens-Peer,
Im Grunde meinten wir (Thomas und ich) ja dasselbe, nämlich das die TrueQ
einwandfrei Funktioniert.
Thomas führt das auf den einen Defaultwert zurück, sobald die Funktion
nicht
ausgewertet werden kann (unbestimmt ist).
Ich glaube das TrueQ für x Werte einsetzt, (nämlich x element R)
zumindest
für Teilbereiche um eine Entscheidung zu treffen.
Thomas Variante hat für mich was von einer "Glaskugel": MMA entscheidet
irgendwie, die Funktion ist unbestimmt.
Leider wissen wir beide nicht exakt, wie MMA TrueQ intern überhaupt
auswertet
DiracDelta ist zugegeben ein dummes Beispiel, das kam aber weder von
Thomas
noch von mir.
Ich würde
x=.
y=.
TrueQ[x/y==x/y]
False
bevorzugen.
Mit freundlichen Grüßen
[André El-Ama]
-----Original Message-----
From: Jens-Peer Kuska [mailto:kuska@XXXXXXX.de]
Sent: Tuesday, February 15, 2005 12:38 PM
To: Thomas Hahn; Andre El-Ama
Cc: DMUG
Subject: Re: Re(Woysch): Frage zur Aequivalenz von modifizierten
DiracDelta-Funktionen
Hallo,
das ist ja HAARSTRÄUBEND !
DiracDelta[] ist eine *Distribution*, das heißt sie ist nur in Ausdrücken
Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}]
erlaubt und sinnvoll. Und auch nicht für beliebige Funktionen f[]
sondern nur für eine bestimmte Klasse z.B den Raum der (quadratisch)
integrablen Funktionen.
Eine nackte DiracDelta[] Funktion kann es nicht
geben. Es gibt immer nur Integrale in denen eine solche Funktion steht.
Um genau zu sein, ist DiracDelta[] diejenige Distribution, die
Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}] -> f[0]
zuordnet. Es ist also höchst sinnlos darüber zu spekulieren
ob DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s]
ist oder nicht, denn es ist nur ein Ausdruck
Integrate[f[x]*DiracDelta[x],{x,-Infinity,Infinity}]==
Integrate[f[x]*DiracDelta[ 5 x],{x,-Infinity,Infinity}]
überhaupt definiert, und der ist natürlich
f[0]==f[0]/s
ob das True oder False ist kann man so nicht sagen, TrueQ[] sollte
aber auf jeden Fall False ergeben ...
Natürlich ist es schlimm, wenn so etwas überhaupt ausgewertet wird,
denn der Ausdruck DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s] ist sinnlos, und
das FullSimplify[] das auch noch zu True vereinfacht ist bedauerlich,
weil eigentlich Indeterminate heraus kommen sollte.
Aber vermutlich ist es kein Bug, wenn bei der Eingabe von Unsinn auch
Unsinn
rauskommt ...
Es ist eine beliebte Ungenauigkeit einfach das Integral und die Funktion
f[] wegzulassen und die Daumen zu drücken, das alle Integrale
konvergieren, das hat aber nix mit Mathematik zu tun,
sonder mit (Schreib-)Faulheit, genauso,
wie man in Differentialgleichungen gern die
Funktionsargumente weg läßt.
Aus einer gewissen Laxheit/Faulheit heraus aber zu schlußfolgern, das
DiracDelta[s]==DiracDelta[5 s]
überhaupt etwas sinnvolles ergibt ist recht vermessen. Selbst
mit der üblichen "auch ganz doofe Studenten sollen das
verstehen"-Erklärung:
"Eine Diracsche Delta-Funktion ist überall null außer dort wo das Argument
verschwindet, dort ist sie unendlich."
ist klar das man "Unendlich" und "Unendlich/5" wohl eher nicht
vergleichen kann.
Jedenfalls hat es die Anzahl der Postings in der DMUG dramatisch erhöht
Gruß
Jens
----- Original Message -----
From: "Thomas Hahn" <hahn@XXXXXXX.de>
To: "Andre El-Ama" <Andre@XXXXXXX.de>
Cc: "DMUG" <demug@XXXXXXX.ch>
Sent: Monday, February 14, 2005 3:45 PM
Subject: Re: Re(Woysch): Frage zur Aequivalenz von modifizierten
DiracDelta-Funktionen
>Na und, wo ist da ein Problem?
> x^2 == x^2 ist schon ja von sich aus True.
Genau, "von sich aus True" entspricht in diesem Fall "x element R"
Vielleicht steh ich gerade auf der Leitung, aber x^2 == x^2
ist auch im Komplexen True.
>Mathematica Basics:
>Alle ...Q-Funktionen liefern False, wenn das Ergebnis nicht
>bestimmt werden kann.
schon mal falsch, denn es gilt nicht für Funktionen die "von sich aus
True"
sind.
Natürlich ist TrueQ[True] True, d.h. daß TrueQ[x^2 == x^2]
True ergibt, bestätigt in diesem Fall doch nur, daß x^2 == x^2
schon True ist.
Das Ausgangsproblem war doch, daß
TrueQ[ DiracDelta[s] == DiracDelta[s]/5 ]
False ergibt, und da behaupte ich: das ist völlig korrekt, denn
DiracDelta[s] == DiracDelta[s]/5 kann ohne zusätzliche Informationen
eben nicht eindeutig als True oder False ausgewertet werden, und
dann gibt TrueQ seinen Default, nämlich False zurück. Es ist
ein Feature und kein Bug der ...Q-Funktionen, daß sie im
Zweifelsfalle False zurückliefern.
>Im Übrigen habe ich mir das mit den ...Q-Funktionen nicht
>selbst ausgedacht, sondern das steht im Mma-Buch (müßte suchen,
>wo genau).
Ja, dauert "echt" lange im MMA-Buch unter "TrueQ" nachzusehen!
Weil es nicht bei TrueQ steht, sondern in Section 2.3.5:
An important feature of all the Mathematica property-testing
functions whose names end in Q is that they always return False if they
cannot determine whether the expression you give has a particular
property.
Schöne Grüße,
Thomas
DMUG-Archiv, http://www.mathematica.ch/archiv.html