Re: Antwort: transzendente Lösung

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Robert,

> Vor allem Udo's Gleichung lässt hoffen das eine Lösung vielleicht doch
> noch greifbar, ratbar ist.

(* Zum Raten sollte niemand raten.
   Denn beim Raten missraten
   die Erfolgsraten. *)

Anscheinend kann man Archimedes nicht übertreffen, der eine irrationale  
Zahl rational approximierte. Zu dem Zweck transformiert man die Gleichung

4 - (9 + x) Log[x]/(1 + x) == 0

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In[59]:= Solve[(x + 9)/(x + 1) == y, x]
Out[59]= {{x -> (9 - y)/(-1 + y)}}

auf 4 - y Log[(9 - y)/(y - 1)] == 0, betrachtet sie als Funktion von c und  
bemerkt, dass y = 3/2 als Näherungslösung nicht schlecht ist:

In[60]:= N[3 Log[15]/2]
Out[60]= 4.06208

Der Ansatz 3/2 legt nahe, die Lösung im Dualsystem zu approximieren

In[23]:= Clear[nowakArchimedes]
nowakArchimedes[l_List] :=
 If[y = Join[l, {1}] . Table[1/2^o, {o, 0, Length[l]}];
  y Log[(9 - y)/(y - 1)] > 4, Join[l, {1}], Join[l, {0}]]

In[52]:= With[{n = 44},
  MapThread[
   Dot, {NestList[nowakArchimedes, {1}, n],
    NestList[Join[#, {Last[#]/2}] &, {1}, n]}]] // Tally

Out[52]= {{1, 1}, {3/2, 2}, {13/8, 3}, {105/64, 1}, {211/128,
  1}, {423/256, 1}, {847/512, 1}, {1695/1024, 1}, {3391/2048,
  1}, {6783/4096, 2}, {27133/16384, 2}, {108533/65536, 1}, {217067/
  131072, 1}, {434135/262144, 2}, {1736541/1048576, 1}, {3473083/
  2097152, 3}, {27784665/16777216, 1}, {55569331/33554432,
  6}, {3556437185/2147483648, 3}, {28451497481/17179869184,
  1}, {56902994963/34359738368, 2}, {227611979853/137438953472,
  1}, {455223959707/274877906944, 3}, {3641791677657/2199023255552,
  3}, {29134333421257/17592186044416, 1}}

In[55]:= N[
 y Log[(9 - y)/(y - 1)] /. y -> 29134333421257/17592186044416, 20]

Out[55]= 4.0000000000000136043

Das kann in anderen Basen als 2 ausgeführt werden. Im Nenner der  
Approximationsfolgenglieder tritt immer eine Potenz der Basis auf. Die  
Frage ist, ob es Basen gibt, in denen sich für die Zähler ein  
Bildungsgesetz aufdrängt oder ob sich allenfalls die Folge der Zähler  
unter Sloanes Zahlenfolgen  
http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html?language=english  
findet. Just give it a try!

Gruss
Udo.