Re: NIntegrate mit einer compelierten Funktion

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Peter,

> das Integral als gewöhnliche Differentialgleichung formuliert und lösen  
> lassen: Mit dem Ansatz Method -> Lagrange wurde eine Lösung ausgegeben,  
> aber die hat gewisse Schwächen, wenn man die Lösung numerisch mit den  
> Ergebnissen vergleicht, die man mit NIntegrate nach M erhält:

Welche Schwächen waren das?

> Frage: Wie geht das Integrieren es richtig schnell?

Welchen Wertebereich haben die Parameter? Es sollte H >= M sein wg. der
Wurzel im Nenner des Erf[]. Weiter wegen Erf[-x] = -Erf[x] und
Erf[x0, x1] := Erf[x1] - Erf[x0] kann man die gar nicht mal
so hässliche Formel noch in Schönschrift notieren:

In[16]:= Erf[(2 x - b)/Sqrt[2/a^2 (H/M - 1)], (2 x + b)/Sqrt[
  2/a^2 (H/M - 1)]] Erf[(2 x - l)/Sqrt[2/a^2 (H/M - 1)], (2 x + l)/
   Sqrt[2/a^2 (H/M - 1)]]/(4 ( Exp[-2 M^2 (H/M - 1)] - 1))

das sind noch 2 verallgemeinerte Erf[]'s und ein Nenner mit Singularitäten.

Das Integriegen geht schnell, wenn man die vielen Argumente auf einen  
Bereich
eingrenzen kann, in dem die Funktion weder fast Null noch fast  Unendlich  
ist.
Der quadratisch-lineare Exponentialterm im Nenner 4 (E^(2 M (M-H))-1)  
erzeugt
Singularitäten bei M = 0 und bei M = H (zwei weitere liegen im  
Nichtreellen),
somit 0 < M < H.

Das Integrieren geht weiterhin schnell, wenn man mit einem nichtlinearen  
Fit
die Lösungsmannigfaltigkeit an einen Ausdruck in den verbleibenden  
Variablen
anpasst. Wenn das Integral über M benötigt wird, setzt man einfach die  
aktuellen
a, x, b, y, l und H in die Formel ein. Um dies tun zu können, muss man aber
dem Fitter einen brauchbaren Ansatz vorschlagen.

Mit einer Simulation (4 Parameter werden festgesetzt, 2 variieren, dann  
Wechsel der
fixen Parameter) kann man versuchen, auf einen Ansatz zu kommen.

Gruss
Udo.