Re: integral

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Robert,

solange man hofft, gibt es Hoffnung.

Die komplette Loesung habe ich (noch) nicht erhalten, aber die Haelfte (0 < a < 1)
sozusagen:
Zunaechst mal ist
In[8]:=LeafCount[Integrate[
      ArcTan[1  +  a Cos[x],  -a Sin[x]]^2, {x, -Pi, Pi}, Assumptions -> {x
\[Element] Reals}]]

Out[8]=27

Da macht Mma nix. Aber
In[7]:=LeafCount[
    Integrate[ArcTan[a Cos[x], -a Sin[x]]^2, x,  Assumptions -> {a > 0, x
\[Element] Reals}]]

Out[7]=41

Das integriert Mma unbestimmt. Und auch
In[9]:=LeafCount[Integrate[ArcTan[1 + a Cos[x], -a Sin[x]], x, Assumptions -> {a >
0, x \[Element] Reals}]]

Out[9]=1811

wird coolerweise unbestimmt integriert.
Das Problem ist also einerseits die Potenz vom ArcTan und andererseits der Shift 1
+ a Cos[x].

Man kann jetzt erstmal die Enden des Intervalls betrachten: Man entwickelt nach a
um a=0 und integriert
die Entwicklung gleich:

Integrate[ Series[ArcTan[1 + a Cos[x], -a Sin[x]]^2, {a, 0, 10}], {x, -Pi, Pi}]

die ersten 5 Glieder lassen sich sofort erkennen als
In[12]:= Pi Sum[(a^n/n)^2, {n, 1, Infinity}]

Out[12]=Pi PolyLog[2, a^2]

Bingo. Für 0 < a < 1 ist die Lösung des Integrals Pi PolyLog[2, a^2].

Ebensogut kann man um a -> Infinity entwickeln und die Entwicklung integrieren:
Integrate[Series[ArcTan[a (q + Cos[x]), -a Sin[x]]^2, {q, 0,  6}], {x, -Pi, Pi}]

(in der Formel ist q := 1/a) das dauert länger, aus den ersten 3 Gliedern
schliesst man auf

2 Pi^3/3 + Pi PolyLog[2, 1/a^2].

(2 Pi^3/3 ist übrigens der Grenzwert Integrate[x^2, {x, -Pi, Pi}] fuer a ->
Infinity.)

Aus der Asymptotik bei Unendlich kann man dennoch leider nicht die Gesamtlösung
erschliessen. Tippen Sie
With[{oG = 4},
  Plot[{If [a < 1,
        NIntegrate[ArcTan[1 + a Cos[x], -a Sin[x]]^2, {x, -Pi, Pi}],
        NIntegrate[ArcTan[1 + a Cos[x], -a Sin[x]]^2, {x, -Pi, -ArcCos[-1/a],
ArcCos[-1/a], Pi}]],
      If[a < 1, Pi PolyLog[2, a^2], 2 Pi^3/3 - 3 Pi PolyLog[2, 1/a^2 ]]},
    {a, 0, oG}, PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]]

Die rote Kurve ist die _exakte_ Loesung (numerische Integration) und die blaue
Kurve (guess from infinity)
ist nur exakt in 0 < a < 1. Die blaue Kurve steigt zu steil bei a > 1.

Mein Vorschlag an Sie ist, die Entwicklung auch um a = 1 herum auszuführen und zu
integrieren (analog wie bei a ~ 0 und 1/a ~ 0), das scheint gerade noch zu gehen
und die Funktion bei 1 festzustellen bzw. zu erraten und schliesslich aus den dann
3 Teilen die Lösung zu bauen. Durch Vergleich mit der numerischen Integration ist
man auf der sicheren Seite. Ein andere Option wär, einen Lösungsansatz fuer a > 1
aus der Entwicklung um 1 zu gewinnen und den Ansatz von NonlinearFit tunen zu
lassen.

Gruss
Udo.


> liebe liste,
>
> gibts da hoffnung ?
>
> Integrate[ArcTan[1 + a*Cos[b], -a*Sin[b]]^2, {b, -Pi, Pi}, Assumptions -> a>0]
>
> gruesse robert