Statistisches

[Uli Jentschura <ulj@XXXXXXX.de>]

Lieber DEMUG-Mitglieder,

hier eine Frage betreffs

  Statistik,      insbesondere      NonlinearRegress.

Bevor ich das Problem im Detail schildere, moechte ich mich vergewissern,
nicht von Vornherein einen Denkfehler gemacht zu haben:

Nehmen wir folgendes an:

1. Wir nehmen eine wohldefinierte Kurve, zum Beispiel eine Lorentzkurve
   der Form


      f(x) = 1/(x^2 + gamma^2/4)

   (bis auf Normierung).

2. Wir addieren ein statistisches Rauschen, mit einer Gauss-schen
   Verteilung ("Random" mit "NormalDistribution"), so dass die Linie
   varrauscht wird, wobei sich die Standardabweichung der addierten
   Zufallszahl ergibt zu

     sigma(f) = Sqrt[f] + constant * f    (*)

   (man/frau koennte sich auch andere Abhaengigkeiten sigma(f)
    vorstellen.)

3. Wir fitten mit "NonlinearRegress" die entstandene verrauschte Linie,
   wobei wir die verrauschten Daten statistisch gewichten, und zwar genau
   mit demjenigen Gewicht 1/sigma(f)^2, das wir vorher benutzt haben, um
   die "Breite" des statistischen Rauschens festzulegen.

Ueberlegung (richtig oder falsch?):

Dann muesste doch im statistischen Mittel eine nichtlineare Anpassung an
die verrauschte Linie (unter Zuhilfenahme von "NonlinearRegress") mit
einem Modell f(x) = 1/(x^2 + gamma^2/4) unter Gewichtung der f_i mit
Gleichung (*) fuer den Parameter gamma den "Startwert" von gamma ergeben.

Beobachtung:

Die Breite gamma der Lorentzkurve wird nicht richtig gefittet. Vielmehr
ist diese Breite typischerweise kleiner als gamma. Aber vielleicht liegt
ein Denkfehler vor. (Hoffentlich liegt ein Denkfehler vor!)

Vielen Dank an alle Diskussionsteilnehmer im voraus!

Gruss,

Ulrich Jentschura

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Ulrich Jentschura                          Theoretische Quantendynamik/ Physik
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