Re: Antwort: Integral soll BesselJ ergeben

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Gunnar && Hans,

um zu zeigen, dass diese wunderhübsche Sommerfeldsche 
Integraldarstellung der Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung wirklich 
die Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung darstellt (F. Rühs, 
Funktionentheorie, Kap. VII, § 2), braucht man kein Mat[hematica|Lab] 
Programm. Man wendet den Differentialoperator (nach x) der Besselschen 
Differentialgleichung auf das Integral an, stellt fest, dass ein Anteil 
des entstehenden Ausdrucks als zweite Ableitung nach z geschrieben 
werden kann (Sommerfelds Idee), führt darauf zwei partielle 
Integrationen aus und ist fertig für alle m ganzzahlig, d.h. sieht, dass 
das bestimmte Integral die Besselsche Differentialgleichung erfüllt.

Mit den besten Gruessen
Udo.

Hans.Dolhaine@XXXXXXX.com wrote:

> ...also, wenn ich das Ganze richtig schreibe:
>
> 2 Pi Integrate[E^(I x Sin[z]) E^(-I m z), {z, -Pi, Pi}]
>
> und das m spezifiziere, z.B.
>
> 2 Pi Integrate[E^(I x Sin[z]) E^(-I m z)/.m->3, {z, -Pi, Pi}]
>
> wertet mein Mma 4.2 den Ausdruck aus zu
>
> 2 Pi If[ Im[x]==0, 2 Pi BesselJ[3,x],.......]
>
>
> Damit hat Ihr Mat-Lab-Kollege wohl recht.
>
> Mit freundlichen Grüssen
>
> Hans Dolhaine
> _________________________________
>
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>                      "Gunnar                                                                                                             
>                      Lindenblatt"                An:      "DEMUG" <demug@XXXXXXX.ch>                                                 
>                      <Gunnar.Lindenblatt         Kopie:                                                                                  
>                      @pobox.com>                 Thema:   Integral soll BesselJ ergeben                                                  
>                      Gesendet von:                                                                                                       
>                      owner-demug@mathema                                                                                                 
>                      tica.ch                                                                                                             
>                      24.09.2004 12:11                                                                                                    
>                      Bitte antworten an                                                                                                  
>                      "Gunnar                                                                                                             
>                      Lindenblatt"                                                                                                        
>                      Entscheidung                                                                                                        
>                      erforderlich ?                                                                                                      
>                      |--------|                                                                                                          
>                      | [ ] ja |                                                                                                          
>                      |--------|                                                                                                          
>                                                                                                                                          
>
>
>
> Hallo,
>
> ein Bekannter (und MatLab-Verfechter!) behauptet, daß dieses Integral
>
> 2 Pi Integrate[E^(I x Sin[z]]) E^(-I m z), z, -Pi, Pi]
>
> gerade die Besselfunktion BesselJ ergibt. Leider habe ich gerade keine
> Formelsammlung zur Hand, um das nachzuschlagen. Und leider weigert sich
> Mathematica auch, das so auszurechnen. Auch mit ein paar Assumptions (m ist
> aus Integers, ...) klappt es nicht. Könnt Ihr mir helfen, daß Mathematica
> das zu BesselJ vereinfacht [und das Lachen meines Bekannten einfriert ;-)
> ]?
>
> Danke!
>
> Gunnar Lindenblatt
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