Re: Probleme mit Matrix-Gleichung

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Guten Abend Eva,

das Problem ist in jeder endlichen positiven Dimension recht einfach zu  
lösen. Allerdings nicht, indem man es direkt in Mma "reinklatscht". Doch  
zuerst 2 Vorbemerkungen

(0) Pmat = Reverse[IdentityMatrix[dim]]

(1) Natürlich ist die inverse Matrix einer symmetrischen _regulären_  
Matrix symmterisch. Das ergibt sich aus der Konstruktion der inversen  
Matrix. Aber man kann das i.a. nicht mit

SymmetricQ[m_List?MatrixQ] := (m === Transpose[m])

testen: "SameQ requires exact correspondence between expressions, except  
that it still considers Real numbers equal if they differ in their last  
binary digit." Die exakte Korrespondenz ist trotz mathematischer  
Gleichheit bei komplizierteren Ausdrücken oft nicht gegeben. Mit Equal[]  
sollte es kein Problem geben.

Sei nun die Aufgabe

(X + Transpose[X].P).EPS == B als
(X + Transpose[X].P) == B.Inverse[EPS] =: BS

geschrieben. Man sieht sofort, dass dies für gerade Dimension dim zerfällt  
ein dim^2/4 Teilaufgaben (lineare Gleichungssystem vom Rang 4). (Bei  
ungerader Dimension gibt es (dim^2 - 1)/4 + 1 Teilaufgaben.) Zum Beispiel  
für dim = 16 gibt es Gleichungen für

X[ 1,  1] + X[16,  1] == BS[ 1,  1]
X[16,  1] + X[16, 16] == BS[16,  1]
X[ 1, 16] + X[16, 16] == BS[16, 16]
X[ 1,  1] + X[ 1, 16]==  BS[ 1, 16]

an diesen 4 Gleichungen nehmen nur 4 Variable X[1, 1], X[16, 1], X[1, 16],  
X[16, 16] teil und diese 4 Variablen nehmen an keinen anderen Gleichungen  
teil: Das kann separat gelöst werden.

Anderes Beispiel:
X[ 4,  7] + X[ 7, 13] == BS[ 7, 13]
X[ 7, 13] + X[13, 10] == BS[13, 10]
X[10,  4] + X[13, 10] == BS[10,  4]
X[ 4,  7] + X[10,  4] == BS[ 4,  7]
auch vier Variable und rechter Hand 4 Elemente von BS.

Das ganze System zerfällt also (bei dim gerade) in lineare  
Gleichungssysteme vom Rang 4, die man tunlich separat lösen sollte. Bei  
ungerader Dimension dim gibt es auch eine Reihe von linearen  
Gleichungssystemen vom Rang 4 und in der Mitte eine Gleichung

2 X[Floor[dim/2], Floor[dim/2]] = BS[Floor[dim/2], Floor[dim/2]].

Bei der Bildung X + Transpose[X].P ist das allgemeine Element
X[i, j] + X[d + 1 - j, i], d = dim. Verfolgt man ein Element, dann ergibt  
sich

X[i, j] + X[d + 1 - j, i]
X[d + 1 - j, i] + X[d + 1 - i, d + 1 - j]
X[d + 1 - i, d + 1 - j] + X[d + 1 - (d + 1 - j), d + 1 - i]
X[j, d + 1 - i] + X[d + 1 - (d + 1 - i), j]
                
und die vier Unbekannten einer Teilaufgabe vom Rang 4 sind also
X[i, j], X[d + 1 - j, i], X[d + 1 - i, d + 1 - j] und
X[j, d + 1 - j].

Die elegante Lösung besteht darin, die Teilaufgaben zu
formulieren und zu lösen. Zuvor muss Inverse[EPS] in
vertretbarer Zeit gefunden werden.

Gruss
Udo.


> Mich interessiert, ob Mathematica eine Lösung für
> dim=16 finden kann.
> Ich habe versucht zu überprüfen, ob die
> Inverse[Eps]-Matrix symmetrisch ist. Komischerweise
> ist bis dim=11 die  Inverse[Eps] symetrisch, ab dim 12
> nicht mehr, und das verstehe ich nicht.
> Wie muss ich das Problem formulieren, damit ich eine
> elegante Lösung für X bekomme?

--
Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/