Re: Abkühlung mit Freisetzung von latenter Wärme

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Frank,

in der Dissertation von Stefan Hiebler, Kalorimetrische Methoden zur  
Bestimmung der Enthalpie von Latentwärmespeichermaterialien während des  
Phasenübergangs, TU München 2007, wird mit temperaturabhängiger  
spezifischer Wärmekapazität modelliert und simuliert:

D[T[t, x], t] == \[Lambda]/(\[Rho] Subscript[c, p]) D[T[t, x], {x, 2}]
a = \[Lambda]/(\[Rho] Subscript[c, p]) - Temperaturleitfähigkeit,
[a] = m^2/s,
\[Lambda] - Wärmeleitfähigkeit, [\[Lambda]] = W/(m K),
\[Rho] - Dichte, [\[Rho]] = kg/m^3,
Subscript[c, p ]- spezifische Wärmekapazität, [Subscript[c, p]] = J/(kg K)

Er bringt auch einen Rechentrick (S. 145 - 147), falls man selbst  
diskretisiert.
Mit solch einem Modell, das im Gegensatz zu Ihrem Modell keinen separaten  
additiven Term mit der gesuchten Funktion u[t, x, y] enthält, ob nun  
abgeleitet oder nicht, hat Mma anscheinend keine Schwierigkeiten. Ich habe  
die Lösungen nicht geprüft, das lohnt sich erst mit realistischen Daten,  
aber immerhin:

In[12]:= Remove[r]
r[t_] := 45*(Exp[-t] - 1)

In[29]:= Remove[s1] (* Wärmeleitungsgleichung temperaturabhängiger \
spezifischer Wärmekapazität *)
s1 = NDSolve[{D[u[t, x], t] ==
    D[u[t, x], x, x]/(0.1 + PDF[GumbelDistribution[-3/2, 1/2], u[t, x]]) ,
   u[0, x] == 0, u[t, 0] == r[t], u[t, 8] == r[t]},
  u, {t, 0, 50}, {x, 0, 8}, MaxStepFraction -> 1/100]

Out[30]= {{u -> InterpolatingFunction[{{0., 50.}], {0., 8.}}], <>]}}


In[36]:= Remove[s2]
s2 = NDSolve[{D[u[t, x, y],
     t] == (D[u[t, x, y], x, x] + D[u[t, x, y], y, y])/(0.1 +
       PDF[GumbelDistribution[-3/2, 1/2], u[t, x, y]]) ,
   u[0, x, y] == 0, u[t, x, 0] == r[t], u[t, x, 8] == r[t],
   u[t, 0, y] == r[t], u[t, 8, y] == r[t]},
  u, {t, 0, 50}, {x, 0, 8}, {y, 0, 8}, PrecisionGoal -> 4]

Out[37]= {{u -> InterpolatingFunction[{{0., 50.}], {0., 8.}, {0., 8.}}],  
<>]}}

Schönen 4. Advent!
Udo.