Mathematica bietet ja eine ganze Menge an Matrix-Decomposition
Möglichkeiten. Leider habe ich jedoch nichts darunter gefunden, das mein
Problem lösen kann. Deshalb die Frage, ob es vielleicht überhaupt nicht
lösbar ist, oder, ob jemand der sich in Mathematik besser auskennt als
ich, eine Lösung weiß.
Hier das Problem (auf 3 Dimensionen beschränkt):
gegeben ist
1. eine symmetrische Matrix "sym", die zudem die Spur 0 besitzt,
2. eine Drehmatrix "omega", die ja nur 3 unabhängige Größen besitzt
(z.B. die Eulerwinkel)
Wenn "sym" gedreht wird erhält man die Matrix "symRot" entsprechend
symRot = omega . sym . Transpose[omega]
Frage:
läßt sich allein aus der Kenntnis von symRot und sym die Drehmatrix
"omega" wieder rekonstruieren?
Vielleicht ist da jemand erfolgreicher als ich. Alle Versuche mit
SingularValues, JordanDecomposition und PolarDecomposition führten mich
nicht weiter.
Ich bin für jede Idee hier dankbar.
Herzliche Grüße
Wolfgang
=============================
Dr. Wolfgang Ludwig
managing director
STL Systemtechnik Ludwig GmbH
Max-Stromeyer-Str. 116
D-78467 Konstanz
7531-892888-0 (phone)
7531-892888-88 (fax)
www.stl-gmbh.de
=============================
Die Rotationsmatrix kann rekonstruiert werden aus den Systemen von normierten
Eigenvektoren (Matrix Transopse[r1] bzw. Transpose[r2] der beiden
symmetrischen (verschiedenen, aber aequivalenten) Matrizen s1 und s2;
s ist die zugehoerige Diagonalmatrix:
r1 . s1 . Transpose[r1] = r2 . s2 . Transpose[r2] = s,
s1 = (Transpose[r1] . r2) . s2 . Transpose[Transpose[r1].r2].
Die Drehmatrix ist also r = Transpose[r1].r2 .
Die Drehachse ist der Eigenvektor von r zum Eigenwert 1. Die anderen
beiden Eigenwerte sind Exp[I al], al = Drehwinkel.
Obiges Programm wird ein einem Beispie im attachierten Notebook durchgezogen.
Die allgemeine analytische Durchfuehrung dieses Programmes kann zu aufwendig
sein (kubische charakteristische Gleichungen !), vor allem die
Berechnung der benoetigten Eigenvektoren.
Bei numerischer Durchfuehrung kann es passieren, dass man einen komplexen
Eigenvektor zum Eigenwert 1 von r erhaelt. Die Berechnung des Drehwinkels
bleibt trotzdem intakt. Das erste Problem laesst sich bewaeltigen, indem man
beruecksichtigt, dass eine Drehmatrix auch durch einen Drehtensor dargestellt
werden kann.
B. Schnizer
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Mathematica-Compatible Notebook
This notebook can be used on any computer system with Mathematica 4.0,
MathReader 4.0, or any compatible application. The data for the notebook
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(*CacheID: 232*)
(*NotebookFileLineBreakTest
NotebookFileLineBreakTest*)
(*NotebookOptionsPosition[ 13883, 463]*)
(*NotebookOutlinePosition[ 14726, 490]*)
(* CellTagsIndexPosition[ 14682, 486]*)
(*WindowFrame->Normal*)
Notebook[{
Cell["\<\
Delivered-To:schnizer@XXXXXXX.at
Date:Tue,10 Oct 2000 16:39:29+0200
From:Wolfgang Ludwig<w.ludwig@XXXXXXX.de>Organization:STL Systemtechnik GmbH
X-Accept-Language:de,en
To:DMUG<dmug@XXXXXXX.ch>Subject:Matrix Decomposition
Sender:owner-dmug@XXXXXXX.ch
List-Archive: <http://www.mathematica.ch/>List-Help: \
<http://www.mathematica.ch/dmug-liste.html>Status:Mathematica bietet ja eine \
ganze Menge an Matrix-Decomposition
M\[ODoubleDot]glichkeiten.Leider habe ich jedoch nichts darunter gefunden,das \
mein
Problem l\[ODoubleDot]sen kann.Deshalb die Frage,ob es vielleicht \
\[UDoubleDot]berhaupt nicht
l\[ODoubleDot]sbar ist,oder,ob jemand der sich in Mathematik besser auskennt \
als
ich,eine L\[ODoubleDot]sung wei\[SZ].Hier das Problem (auf 3 Dimensionen \
beschr\[ADoubleDot]nkt):gegeben ist
1. eine symmetrische Matrix \"sym\",die zudem die Spur 0 besitzt,2. eine \
Drehmatrix \"omega\",die ja nur 3 unabh\[ADoubleDot]ngige \
Gr\[ODoubleDot]\[SZ]en besitzt
(z.B.die Eulerwinkel)
Wenn \"sym\" gedreht wird erh\[ADoubleDot]lt man die Matrix \"symRot\" \
entsprechend
symRot=omega.sym.Transpose[omega]
Frage:l\[ADoubleDot]\[SZ]t sich allein aus der Kenntnis von symRot und sym \
die Drehmatrix
\"omega\" wieder rekonstruieren?Vielleicht ist da jemand erfolgreicher als \
ich.Alle Versuche mit
SingularValues,JordanDecomposition und PolarDecomposition f\[UDoubleDot]hrten \
mich
nicht weiter.Ich bin f\[UDoubleDot]r jede Idee hier dankbar.Herzliche Gr\
\[UDoubleDot]\[SZ]e
Wolfgang===========================\[Equal]Dr.Wolfgang Ludwig
managing director
STL Systemtechnik Ludwig GmbH
Max-Stromeyer-Str.116
D-78467 Konstanz
7531-892888-0 (phone)
7531-892888-88 (fax)
www.stl-gmbh.de===========================\[Equal]\
\>", "Text"],
Cell["Drehung um z-Achse", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(m1\ = \ {{Cos[ph], \(-Sin[ph]\), 0}, {Sin[ph], Cos[ph], 0}, {0, 0,
1}}; \ MatrixForm[m1]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(Cos[ph]\), \(-Sin[ph]\), "0"},
{\(Sin[ph]\), \(Cos[ph]\), "0"},
{"0", "0", "1"}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Drehung um x-Achse", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(m2\ = \ {{1, 0, 0}, {0, Cos[th], \(-Sin[th]\)}, {0, Sin[th],
Cos[th]}}; \ MatrixForm[m2]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{"1", "0", "0"},
{"0", \(Cos[th]\), \(-Sin[th]\)},
{"0", \(Sin[th]\), \(Cos[th]\)}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Drehung um z-Achse", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(m3\ = \ {{Cos[ps], \(-Sin[ps]\), 0}, {Sin[ps], Cos[ps], 0}, {0, 0,
1}}; \ MatrixForm[m3]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(Cos[ps]\), \(-Sin[ps]\), "0"},
{\(Sin[ps]\), \(Cos[ps]\), "0"},
{"0", "0", "1"}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Drehmatrix mit Eulerschen Winkeln", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[{
\(\(m\ = \ m1 . m2 . m3;\)\ \), "\[IndentingNewLine]",
\(MatrixForm[m]\)}], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(Cos[ph]\ Cos[ps] -
Cos[th]\ Sin[ph]\ Sin[ps]\), \(\(-Cos[ps]\)\ Cos[th]\ Sin[
ph] - Cos[ph]\ Sin[ps]\), \(Sin[ph]\ Sin[th]\)},
{\(Cos[ps]\ Sin[ph] +
Cos[ph]\ Cos[th]\ Sin[ps]\), \(Cos[ph]\ Cos[ps]\ Cos[th] -
Sin[ph]\ Sin[ps]\), \(\(-Cos[ph]\)\ Sin[th]\)},
{\(Sin[ps]\ Sin[th]\), \(Cos[ps]\ Sin[th]\), \(Cos[th]\)}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Beispiel einer symemtrischen Matrix", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(s1\ = \ {{\(-2\), 0, \(-4\)}, {0, 2, 4}, {\(-4\), 4, 0}}; \
MatrixForm[s1]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(-2\), "0", \(-4\)},
{"0", "2", "4"},
{\(-4\), "4", "0"}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Spezielle Drehmatrix", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(rm\ = \
m\ /. \ {ph\ \[Rule] \ \[Pi]/3, \ th\ \[Rule] \ \[Pi]/4, \
ps\ \[Rule] \ 0}\ // FullSimplify; \ MatrixForm[rm]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(1\/2\), \(-\(\@\(3\/2\)\/2\)\), \(\@\(3\/2\)\/2\)},
{\(\@3\/2\), \(1\/\(2\ \@2\)\), \(-\(1\/\(2\ \@2\)\)\)},
{"0", \(1\/\@2\), \(1\/\@2\)}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Transformierte symmetrische Matrix", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(s2\ = \ \(Transpose[rm] . s1 . rm // Expand\)\ // FullSimplify; \
MatrixForm[s2]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{"1", \(\(\(-2\) + 3\ \@3\)\/\@2\), \(\(\(-2\) + \@3\)\/\@2\)},
{\(\(\(-2\) + 3\ \@3\)\/\@2\), \(3\/2 + 2\ \@3\), \(1\/2\)},
{\(\(\(-2\) + \@3\)\/\@2\), \(1\/2\), \(\(-\(5\/2\)\) - 2\ \@3\)}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(e1\ = \ Eigensystem[s1]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{\(-6\), 0,
6}, {{2, \(-1\), 2}, {\(-2\), \(-2\), 1}, {\(-1\), 2,
2}}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Normierung der Eigenvektoren", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(n1\ = \ Map[#/Sqrt[# . #]\ &, e1[\([2]\)], {1}]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{2\/3, \(-\(1\/3\)\), 2\/3}, {\(-\(2\/3\)\), \(-\(2\/3\)\),
1\/3}, {\(-\(1\/3\)\), 2\/3, 2\/3}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(n1 . s1 . Transpose[n1]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{\(-6\), 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 6}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(e2\ = \ Eigensystem[s2]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{\(-6\), 0,
6}, {{\(-\(\(12\ \@2 - 7\ \@6\)\/\(\(-3\) +
4\ \@3\)\)\), \(3\ \((\(-7\) + 4\ \@3)\)\)\/\(\(-3\) + 4\ \
\@3\), 1}, {\(-\(\(3\ \@2 + \@6\)\/\(\(-3\) + 2\ \@3\)\)\),
3\/\(\(-3\) + 2\ \@3\),
1}, {\(-\(\(11\ \@6\)\/\(\(-9\) +
4\ \@3\)\)\), \(-\(\(3\ \((13 + 4\ \@3)\)\)\/\(\(-9\) +
4\ \@3\)\)\), 1}}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["Normierung der Eigenvektoren", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(n2\ = \
Map[#/Sqrt[# . #]\ &, e2[\([2]\)], {1}] // FullSimplify\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{1\/6\ \((2 - \@3)\), \(-\(1\/2\)\)\ \@\(7\/6 - 2\/\@3\), \@\(37\/72 + \
5\/\(6\ \@3\)\)}, {\(-\(1\/3\)\) - 1\/\@3,
1\/\@6, \@\(7\/18 - 2\/\(3\ \@3\)\)}, {\(-\(1\/6\)\) +
1\/\@3, \@\(13\/24 + 1\/\(2\ \@3\)\), \@\(7\/72 - 1\/\(6\ \@3\)\)}}\
\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(n2 . Transpose[n2] // FullSimplify\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Aus den beiden System von Eigenvektoren wird die Drehmatrix \
rekonstruiert.\
\>", "Text"],
Cell[BoxData[
\(\(tm\ = \ Transpose[n1] . n2 // FullSimplify;\)\)], "Input"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(MatrixForm[tm]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{\(1\/2\), \(-\(\@\(3\/2\)\/2\)\), \(\@\(3\/2\)\/2\)},
{\(\@3\/2\), \(1\/\(2\ \@2\)\), \(-\(1\/\(2\ \@2\)\)\)},
{"0", \(1\/\@2\), \(1\/\@2\)}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Die rekonstruierte Matrix und die Drehmatrix stimmen \
ueberein.\
\>", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(tm\ == \ rm\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\(True\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(er\ = \ Eigensystem[rm]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{1,
1\/8\ \((\(-2\) +
3\ \@2 - \[ImaginaryI]\ \@\(3\ \((14 + 4\ \@2)\)\))\),
1\/8\ \((\(-2\) +
3\ \@2 + \[ImaginaryI]\ \@\(3\ \((14 + 4\ \@2)\)\))\)}, \
{{\(-\@3\) + \@6, \(-\(\(\(-2\) + \@2\)\/\@2\)\),
1}, {1\/8\ \((\(-2\)\ \@3 -
2\ \@6 + \[ImaginaryI]\ \@\(2\ \((14 + 4\ \@2)\)\))\), \
\(-\(\(2 + \@2 + \[ImaginaryI]\ \@\(3\ \((14 + 4\ \@2)\)\)\)\/\(4\ \@2\)\)\),
1}, {1\/8\ \((\(-2\)\ \@3 -
2\ \@6 - \[ImaginaryI]\ \@\(2\ \((14 + 4\ \@2)\)\))\), \
\(-\(\(2 + \@2 - \[ImaginaryI]\ \@\(3\ \((14 + 4\ \@2)\)\)\)\/\(4\ \@2\)\)\),
1}}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Eine Drehmatrix (orthogonale Matrix mit Det = + 1) hat einen \
Eigenwert 1; desen Eigenvektor gibt den Richtungsvektor der Drehung.\
\>", \
"Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(rv\ = \
Map[#/Sqrt[# . #]\ &,
er[\([2, Position[er[\([1]\)], 1] // Flatten]\)]] //
FullSimplify\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{\@\(3\/41\ \((7 - 2\ \@2)\)\), \@\(1\/41\ \((7 - 2\ \@2)\)\), \
\@\(1\/41\ \((13 + 8\ \@2)\)\)}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Die anderen beiden Eigenwerte sind konjugiert komplex und vom \
Betrage 1: Exp[i al] , al = Drehwinkel\
\>", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(Log[
er[\([1,
First[Complement[Range[1, 3],
Position[er[\([1]\)], 1] // Flatten]]]\)]]/I //
FullSimplify\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\(ArcCot[\(\(-3\) + \@2\)\/\@\(21 + 6\ \@2\)]\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(\(\(\ \)\(N[%]\)\)\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\(\(-1.2866583608681754`\)\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(nrm\ = \ N[rm]; \ MatrixForm[nrm]\)], "Input"],
Cell[BoxData[
TagBox[
RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{
{"0.5`", \(-0.6123724356957945`\), "0.6123724356957945`"},
{"0.8660254037844386`",
"0.35355339059327373`", \(-0.35355339059327373`\)},
{"0.`", "0.7071067811865475`", "0.7071067811865475`"}
}], "\[NoBreak]", ")"}],
(MatrixForm[ #]&)]], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Hier ergibt die numerische Rechnung einen komplexen Eigenvektor zum \
(gerundeten) Eigenwert 1.\
\>", "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(ner\ = \ Eigensystem[nrm] // Chop\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\({{\(\(0.2803300858899106`\)\(\[InvisibleSpace]\)\) +
0.9599036633667752`\ \[ImaginaryI],
0.9999999999999999`, \(\(0.2803300858899106`\)\(\[InvisibleSpace]\)\) \
- 0.9599036633667752`\ \[ImaginaryI]}, {{\(-0.13148068268525567`\) +
0.5745383453297612`\ \[ImaginaryI],
0.6701695009905186`, \(-0.1832639354121228`\) -
0.41219617871317016`\ \[ImaginaryI]}, {\(-0.13148068268525567`\) \
- 0.5745383453297612`\ \[ImaginaryI],
0.6701695009905186`, \(-0.1832639354121228`\) +
0.41219617871317016`\ \[ImaginaryI]}, {\(\(0.17633052349159337`\)\
\(\[InvisibleSpace]\)\) -
0.626467700489418`\ \[ImaginaryI], \(\(0.22961787240054773`\)\(\
\[InvisibleSpace]\)\) - 0.12290681807941065`\ \[ImaginaryI],
0.7131727094277529`}}}\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[BoxData[
\(Log[
ner[\([1,
First[Complement[Range[1, 3],
Position[ner[\([1]\)], 1] // Flatten]]]\)]]/I //
FullSimplify\)], "Input"],
Cell[BoxData[
\(\(\(1.2866583608681756`\)\(\[InvisibleSpace]\)\) +
0.`\ \[ImaginaryI]\)], "Output"]
}, Open ]],
Cell["\<\
Das unterschiedliche Vorzeichen des Winkels folgt aus der \
unterschiedlichen Reihung der Eigenwerte im analytischen und numerischen \
Verfahren.\
\>", "Text"]
},
FrontEndVersion->"4.0 for Macintosh",
ScreenRectangle->{{0, 1024}, {0, 748}},
WindowSize->{939, 629},
WindowMargins->{{1, Automatic}, {Automatic, 1}},
MacintoshSystemPageSetup->"\<\
00<0001804P000000`d26_oRon<3;08f0dL5N`?P0080001804P000000`d26P01
0000I00000400`<30?l00BL?00400@0000000000000006P801T1T00000000000
00000000004000000000000000000000\>"
]
(***********************************************************************
Cached data follows. If you edit this Notebook file directly, not using
Mathematica, you must remove the line containing CacheID at the top of
the file. The cache data will then be recreated when you save this file
from within Mathematica.
***********************************************************************)
(*CellTagsOutline
CellTagsIndex->{}
*)
(*CellTagsIndex
CellTagsIndex->{}
*)
(*NotebookFileOutline
Notebook[{
Cell[1717, 49, 1756, 41, 446, "Text"],
Cell[3476, 92, 34, 0, 30, "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[3535, 96, 133, 2, 27, "Input"],
Cell[3671, 100, 261, 7, 69, "Output"]
}, Open ]],
Cell[3947, 110, 34, 0, 30, "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[4006, 114, 133, 2, 27, "Input"],
Cell[4142, 118, 261, 7, 69, "Output"]
}, Open ]],
Cell[4418, 128, 34, 0, 30, "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[4477, 132, 133, 2, 27, "Input"],
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}, Open ]],
Cell[4889, 146, 49, 0, 30, "Text"],
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Cell[4963, 150, 109, 2, 43, "Input"],
Cell[5075, 154, 566, 11, 69, "Output"]
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Cell[5656, 168, 51, 0, 30, "Text"],
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}, Open ]],
Cell[6100, 186, 36, 0, 30, "Text"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[6161, 190, 177, 3, 27, "Input"],
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}, Open ]],
Cell[6676, 205, 50, 0, 30, "Text"],
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Cell[6751, 209, 120, 2, 27, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[7280, 225, 57, 1, 27, "Input"],
Cell[7340, 228, 125, 3, 26, "Output"]
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Cell[7480, 234, 44, 0, 30, "Text"],
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Cell[7549, 238, 82, 1, 27, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[7810, 248, 56, 1, 27, "Input"],
Cell[7869, 251, 72, 1, 26, "Output"]
}, Open ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[7978, 257, 57, 1, 27, "Input"],
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Cell[8993, 289, 67, 1, 27, "Input"],
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}, Open ]],
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]
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End of Mathematica Notebook file.
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ao. Prof. Dr. B. Schnizer Institut fuer Theoretische Physik
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