Re: A.x==b /; 0<=x<=max

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Guten Morgen Robert,

Nur zum Sagen, Gegenfrage: Wie würde man das Problem für ein lineares  
Gleichungssystem A.x == b, A reguläre Matrix n x n, x und b Vektoren der  
Länge n, lösen?

x ist derjenige Vektor, der von der Transformationsmatrix A in den Vektor  
b transformiert wird. Wenn eine Randbedingung vorliegt, dann muss man den  
Vektor
x' suchen, der am dichtesten an x liegt (bzgl. der Metrik) und noch die  
Randbedingung erfüllt. Das sollte auch in hohen Dimensionen geometrisch  
lösbar sein, wenn die Randbedingung ein konvexes Gebiet beschreibt, das  
den Koordinatenursprung enthält. Dann durchstösst x an (höchstens) einer  
Stelle s die Grenze des konvexen Gebiets und um dieses s sucht man. Wenn  
über rellen Zahlen gerechnet wird, reicht eine Verkürzung x' = \alpha x;  
wenn der Vektor x' z.B. ganzzahlige Komponenten haben soll, muss man in  
der Nähe von s nach solchen suchen: Minimize[{f, cons}, {x, y, ...}, dom]  
wobei f der Metrikausdruck mit x ist, die cons aus der Randbedingung  
übernommen werden und dom in dem Fall Integers wäre. Das sollte für die  
l^2 Norm funktionieren.

Spricht etwas dagegen, auf x = PseudoInverse[A].b dasselbe Verfahren  
anzuwenden?

Gruss
Udo.

> wie löst man (beste näherung bezüglich eines minimierung kriteriums K
> z.B. least square sum, summe der quadratischen Fehler) effizient ein
> lineares über/unter bestimmtes Gleichungssystem:
> A.x=b, K[A.x-b]=min
> unter der Randbedingung:
> 0<=x<=max
>
> ohne den Randbedingungen ist die optimale Lösung bezüglich least square
> sum bekanntlich:
> x=PseudoInverse[A].b (sehr effizient, schnell)


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