Re: (Numerisches?) Problem beim Bestimmen der Eigenvektoren

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Andreas,

> Noch kurz zu meiner Version: Meine ist die vom 10. November 2008. Falls  
> jemand genau die hat, würde mich brennend interessieren, ob derjenige  
> den gleichen Fehler sieht und Mathematica den einen Eigenvektor gar  
> nicht berechnen kann. ;-)

Ja schlecht, hier läuft auf Windows XP 32 Bit die Version 7.0.1.0

In[21]:= $Version
Out[21]= "7.0 for Microsoft Windows (32-bit) (February 18, 2009)"

mit demselben Fehler (in Ihren Bezeichnungen):

In[89]:= Eigenvectors[M][[3]]
Out[89]= {0., 0., 0., 1.}

by the way, die spiegelverkehrte Matrix ist Reverse[#]& /@ Reverse[M]

In[139]:= Eigenvectors[Reverse[#]& /@ Reverse[M]][[3]]
Out[139]= {-1.4179*10^-15, 6.58226*10^-14, -0.707107, 0.707107}

das geht auch mit dieser Version; folgendes scheint zu funktionieren

In[86]:= erM = Eigensystem[Rationalize[M]] // N
Out[86]= {{2096.81, 2027.21, 1923.69, 1915.63},
        {{-0.05709, -0.05709, -0.059551, 1.},
        {5.87718, 5.87718, 5.52372, 1.},
        {-1., 1., 0., 0.},
        {-80.583, -80.583, 171.298, 1.}}}

Probe:
In[87]:= Inverse[Transpose[erM[[2]]]] . Rationalize[M] .
  Transpose[erM[[2]]] // N

Out[87]= {{2096.81, 2.04636*10^-11, 1.42109*10^-14,  
2.68301*10^-11},		{-4.55103*10^-12, 2027.21, -1.42109*10^-14,  
-2.01759*10^-11},
        {0., 0., 1923.69, 0.},
        {-5.17045*10^-12, -3.95489*10^-13, 0., 1915.63}}

und ebenso

In[88]:= erMS = Eigensystem[Rationalize[Reverse[#] & /@ Reverse[M]]] // N
Out[88]= {{2096.81, 2027.21, 1923.69, 1915.63},
        {{-17.5162, 1.04311, 1., 1.}, {0.17015, 0.939858, 1., 1.},
        {0., 0., -1., 1.},
        {-0.0124096, -2.12573, 1., 1.}}}

In[89]:= Inverse[Transpose[erMS[[2]]]] .
  Rationalize[Reverse[#] & /@ Reverse[M]] . Transpose[erMS[[2]]] // N

Out[89]= {{2096.81, 6.11511*10^-12, 8.88178*10^-16,  
6.60005*10^-12},		{7.16227*10^-12, 2027.21, 1.13687*10^-13,  
-6.9349*10^-12},
        {0., 0., 1923.69, 0.},
        {-3.75167*10^-12, -2.38742*10^-12, 0., 1915.63}}

Eine Frage bleibt:
> Hier sollte in der 3. Zeile, wenn er richtig rechnet  {0.707107,  
> -0.707107, 6.58 10^-14, -1.417 10^-15} stehen.

Er hat aber (vgl. Out[86]) für den dritten Eigenvektor {-1., 1., 0., 0.}  
ausgerechnet und die Probe stimmt.

Hier

In[47]:=  Eigenvectors[Reverse[#] & /@ Reverse[M]]
Out[47]= {{-0.995005, 0.0592536, 0.0568049, 0.0568049},
        {-0.0997043, -0.550739, -0.58598, -0.58598}, \
        {-1.4179*10^-15, 6.58226*10^-14, -0.707107, 0.707107},
        {-0.00486037, -0.832572, 0.391663, 0.391663}}

In[79]:= Inverse[
   Transpose[
    Eigenvectors[Reverse[#] & /@ Reverse[M]]]] . (Reverse[#] & /@
    Reverse[M]) .
  Transpose[Eigenvectors[Reverse[#] & /@ Reverse[M]]] // Chop

Out[79]= {{2096.81, 0, 0, 0},
        {0, 2027.21, 0, 0},
        {0, 0, 1923.69, 0},
        {0, 0, 0, 1915.63}}

stimmt die Probe auch, aber Out[47] und Out[88] passen nicht:
{0., 0., -707107, 0.0707107} != {0., 0., -1., 1.}

Übrigens scheitert die Probe Inverse[Transpose[Eigenvectors[M]]] . M .  
Transpose[Eigenvectors[M]]

Gruss
Udo.